1+cosx などを分母にもつ三角関数の積分（A）

$C$ は積分定数とする． (1) $1+\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}$ であるから \[ \int\frac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\tan\frac{x}{2}+C \] (2) $(1+\cos x)'=-\sin x$ であり，$1+\cos x\geqq 0$ で分母は 0 でないから $1+\cos x>0$ である．よって $-\log(1+\cos x)+C$ (3) $\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\sin^2x}=\dfrac{\sin x}{1-\cos^2x}$．$\cos x=u$ とおくと $\sin x\,dx=-du$ \[ \int\frac{-du}{1-u^2}=-\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du=-\frac{1}{2}\left(-\log|1-u|+\log|1+u|\right)+C=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1-u}{1+u}\right|+C \] $\sin x\neq 0$ より $-1<u<1$ であるから $\dfrac{1-u}{1+u}>0$ である． よって $\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}+C$