次数を下げる公式・積和公式で三角関数を積分（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 次数を下げる公式・積和公式で三角関数を積分（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int\sin^2x\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int\sin 3x\cos x\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int\sin^3x\,dx$
\end{enumerate}
$C$ は積分定数とする．
(1) $\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ であるから $\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C$
(2) 積を和に直す公式より $\sin 3x\cos x=\dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)$
\[ \int\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)\,dx=-\frac{\cos 4x}{8}-\frac{\cos 2x}{4}+C \]
(3) $\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x$．$\cos x=u$ とおくと $-\sin x\,dx=du$
\[ \int(1-u^2)(-du)=-u+\frac{u^3}{3}+C=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C \]
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