おき換えを指定された無理関数の不定積分（B）

$t=x+1+\sqrt{x^2+2x+5}$ を $x$ で微分すると \[ \frac{dt}{dx}=1+\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+5}}=\frac{\sqrt{x^2+2x+5}+x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\frac{t}{\sqrt{x^2+2x+5}} \] よって　$\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\dfrac{dt}{t}$ ここで，$x^2+2x+5=(x+1)^2+4>(x+1)^2$ であるから　$\sqrt{x^2+2x+5}>|x+1|\geqq -(x+1)$ ゆえに，$t=x+1+\sqrt{x^2+2x+5}>0$ である． したがって \[ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\int\frac{dt}{t}=\log|t|+C=\log\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)+C \] （$C$ は積分定数）