おき換えを指定された無理関数の不定積分（A）

$t=x+\sqrt{x^2+1}$ を $x$ で微分すると \[ \frac{dt}{dx}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{t}{\sqrt{x^2+1}} \] よって $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{dt}{t}$ であるから \[ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dt}{t}=\log|t|+C=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C \] （$x+\sqrt{x^2+1}>x+|x|\geqq 0$ であるから絶対値は不要．$C$ は積分定数．）