有理化してから積分する無理関数（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $\dfrac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{(x+2)-x}=\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{2}$ であるから \[ \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left\{(x+2)\sqrt{x+2}+x\sqrt{x}\right\}+C=\frac{1}{3}\left\{(x+2)\sqrt{x+2}+x\sqrt{x}\right\}+C \] (2) $\sqrt{1-x}=t$ とおくと，$t\geqq 0$ で $x=1-t^2$，$dx=-2t\,dt$ \[ \int(1-t^2)t\cdot(-2t)\,dt=\int(2t^4-2t^2)\,dt=\frac{2}{5}t^5-\frac{2}{3}t^3+C=\frac{2}{15}t^3(3t^2-5)+C \] $3t^2-5=3(1-x)-5=-(3x+2)$ であるから $-\dfrac{2}{15}(3x+2)(1-x)\sqrt{1-x}+C$