有理化してから積分する無理関数（A）

$C$ は積分定数とする． (1) 分母を有理化すると $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1)-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ であるから \[ \int\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)dx=\frac{2}{3}\left\{(x+1)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right\}+C \] (2) $\sqrt{2x+1}=t$ とおくと，$t>0$ で $x=\dfrac{t^2-1}{2}$，$dx=t\,dt$ \[ \int\frac{t^2-1}{2t}\cdot t\,dt=\frac{1}{2}\int(t^2-1)\,dt=\frac{t^3}{6}-\frac{t}{2}+C=\frac{t(t^2-3)}{6}+C \] $t^2-3=2x-2$ であるから $\dfrac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1}+C$