割り算・部分分数で分数関数を積分（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $2x^2-x=(x-1)(2x+1)+1$ より $\dfrac{2x^2-x}{x-1}=2x+1+\dfrac{1}{x-1}$ \[ \int\left(2x+1+\frac{1}{x-1}\right)dx=x^2+x+\log|x-1|+C \] (2) $\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\right)$ であるから \[ \int\frac{dx}{x(x+2)}=\frac{1}{2}(\log|x|-\log|x+2|)+C=\frac{1}{2}\log\left|\frac{x}{x+2}\right|+C \] (3) $\dfrac{x}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+3}$ とおくと $x=a(x+3)+b(x+1)$ $x=-1$ として $a=-\dfrac{1}{2}$，$x=-3$ として $b=\dfrac{3}{2}$．よって \[ -\frac{1}{2}\log|x+1|+\frac{3}{2}\log|x+3|+C \]