割り算・部分分数で分数関数を積分（A）

$C$ は積分定数とする． (1) $\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}$ であるから \[ \int\frac{x^2+x+1}{x+1}\,dx=\int\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\log|x+1|+C \] (2) $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)$ であるから \[ \frac{1}{2}(\log|x-1|-\log|x+1|)+C=\frac{1}{2}\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C \] (3) $\dfrac{3x+1}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{b}{x-1}$ とおくと $3x+1=a(x-1)+b(x+2)$ $x=-2$ として $a=\dfrac{5}{3}$，$x=1$ として $b=\dfrac{4}{3}$．よって \[ \frac{5}{3}\log|x+2|+\frac{4}{3}\log|x-1|+C \]