部分積分で不定積分の漸化式を作る（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 部分積分で不定積分の漸化式を作る（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$n$ を 0 以上の整数とし，$I_n=\displaystyle\int x^ne^x\,dx$ とする（ただし $I_0=e^x$ とし，積分定数は省略する）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$ が成り立つことを示せ．
\item[(2)] $I_3$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 部分積分法により
\[ I_n=\int x^n(e^x)'\,dx=x^ne^x-\int nx^{n-1}e^x\,dx=x^ne^x-nI_{n-1} \]
(2) (1) をくり返し用いて
\[ I_1=xe^x-e^x,\qquad I_2=x^2e^x-2I_1=(x^2-2x+2)e^x \]
\[ I_3=x^3e^x-3I_2=(x^3-3x^2+6x-6)e^x \]
（積分定数 $C$ を加えたものが不定積分である．）
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