部分積分で不定積分の漸化式を作る（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 部分積分で不定積分の漸化式を作る（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$n$ を 0 以上の整数とし，$I_n=\displaystyle\int(\log x)^n\,dx$ とする（ただし $I_0=x$ とし，積分定数は省略する）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n=x(\log x)^n-nI_{n-1}$ が成り立つことを示せ．
\item[(2)] $I_3$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 部分積分法により
\[ I_n=\int(x)'(\log x)^n\,dx=x(\log x)^n-\int x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\frac{1}{x}\,dx=x(\log x)^n-nI_{n-1} \]
(2) (1) をくり返し用いて
\[ I_1=x\log x-x \]
\[ I_2=x(\log x)^2-2I_1=x(\log x)^2-2x\log x+2x \]
\[ I_3=x(\log x)^3-3I_2=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6x\log x-6x \]
（積分定数 $C$ を加えたものが不定積分である．）
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