部分積分をくり返すともとの積分が現れる型（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $I=\displaystyle\int e^{-x}\cos 2x\,dx$ とおく． \[ I=-e^{-x}\cos 2x-\int e^{-x}\cdot 2\sin 2x\,dx \] \[ \int e^{-x}\sin 2x\,dx=-e^{-x}\sin 2x+\int e^{-x}\cdot 2\cos 2x\,dx=-e^{-x}\sin 2x+2I \] よって $I=-e^{-x}\cos 2x+2e^{-x}\sin 2x-4I$ より \[ I=\frac{e^{-x}(2\sin 2x-\cos 2x)}{5}+C \] (2) $J=\displaystyle\int\sin(\log x)\,dx$ とおく． \[ J=x\sin(\log x)-\int x\cos(\log x)\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\sin(\log x)-\int\cos(\log x)\,dx \] \[ \int\cos(\log x)\,dx=x\cos(\log x)+\int\sin(\log x)\,dx=x\cos(\log x)+J \] よって $J=x\sin(\log x)-x\cos(\log x)-J$ より \[ J=\frac{x}{2}\{\sin(\log x)-\cos(\log x)\}+C \]