部分積分をくり返すともとの積分が現れる型（A）

部分積分法により \[ I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-J\ \cdots\text{①} \] \[ J=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\,dx=e^x\cos x+I\ \cdots\text{②} \] ② を ① に代入すると $I=e^x\sin x-(e^x\cos x+I)$ よって $2I=e^x(\sin x-\cos x)$ また，① を ② に代入すると $J=e^x\cos x+(e^x\sin x-J)$ よって $2J=e^x(\sin x+\cos x)$ したがって，$C$ を積分定数として \[ I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C,\qquad J=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C \]