部分積分を2回使う積分（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $\displaystyle\int x^2e^{-x}\,dx=-x^2e^{-x}+\int 2xe^{-x}\,dx$ $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}$ であるから \[ \int x^2e^{-x}\,dx=-x^2e^{-x}-2(x+1)e^{-x}+C=-(x^2+2x+2)e^{-x}+C \] (2) $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx$ $\displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$ であるから \[ \int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C \] $=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$ (3) $\displaystyle\int x(\log x)^2\,dx=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{2\log x}{x}\,dx=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\int x\log x\,dx$ $\displaystyle\int x\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}$ であるから \[ \int x(\log x)^2\,dx=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2}\log x+\frac{x^2}{4}+C \]