部分積分を2回使う積分（A）

$C$ は積分定数とする． (1) $\displaystyle\int x^2e^x\,dx=\int x^2(e^x)'\,dx=x^2e^x-\int 2xe^x\,dx$ $\displaystyle\int xe^x\,dx=\int x(e^x)'\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x$ であるから \[ \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2(x-1)e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C \] (2) $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x-\int 2x\sin x\,dx$ $\displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$ であるから \[ \int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C \] (3) $\displaystyle\int(\log x)^2\,dx=\int(x)'(\log x)^2\,dx=x(\log x)^2-\int x\cdot\frac{2\log x}{x}\,dx=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx$ $\displaystyle\int\log x\,dx=\int(x)'\log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\log x-x$ であるから \[ \int(\log x)^2\,dx=x(\log x)^2-2(x\log x-x)+C=x(\log x)^2-2x\log x+2x+C \]