x·eˣ, x·cosx の部分積分（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $\displaystyle\int x\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)'dx=-\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx=-\frac{x}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C=-\frac{2x+1}{4}e^{-2x}+C$ (2) $\displaystyle\int x\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)'dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$ (3) $\displaystyle\int(x+1)'\log(x+1)\,dx=(x+1)\log(x+1)-\int dx=(x+1)\log(x+1)-x+C$ (4) $\displaystyle\int\left(\frac{x^3}{3}\right)'\log x\,dx=\frac{x^3}{3}\log x-\int\frac{x^2}{3}\,dx=\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}+C$