x·eˣ, x·cosx の部分積分（A）

部分積分法 $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$ を用いる．$C$ は積分定数． (1) $\displaystyle\int x(e^x)'\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$ (2) $\displaystyle\int x(\sin x)'\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$ (3) $\displaystyle\int(x)'\log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\log x-x+C$ (4) $\displaystyle\int\left(\frac{x^2}{2}\right)'\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x}{2}\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C$