g′(x) を見つけてまとめる置換積分（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: g′(x) を見つけてまとめる置換積分（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int x^2e^{x^3}\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x+2}\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int\frac{e^x}{e^x+1}\,dx$
\item[(4)] $\displaystyle\int\tan x\,dx$
\item[(5)] $\displaystyle\int\frac{dx}{x\log x}$
\end{enumerate}
$C$ は積分定数とする．
(1) $x^3=u$ とおくと $3x^2\,dx=du$ であるから $\displaystyle\int x^2e^{x^3}\,dx=\int\frac{1}{3}e^u\,du=\frac{1}{3}e^u+C=\frac{1}{3}e^{x^3}+C$
(2) $(\sin x+2)'=\cos x$ であるから $\log(\sin x+2)+C$（$\sin x+2>0$）
(3) $(e^x+1)'=e^x$ であるから $\log(e^x+1)+C$
(4) $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$ であるから $-\log|\cos x|+C$
(5) $\dfrac{1}{x\log x}=\dfrac{(\log x)'}{\log x}$ であるから $\log|\log x|+C$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます