g′(x) を見つけてまとめる置換積分（A）

$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\ (u=g(x))$，$\displaystyle\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\log|g(x)|+C$ を用いる．$C$ は積分定数． (1) $x^2=u$ とおくと $2x\,dx=du$ であるから $\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx=\int\frac{1}{2}e^u\,du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$ (2) $\sin x=u$ とおくと $\cos x\,dx=du$ であるから $\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,dx=\int u^3\,du=\frac{u^4}{4}+C=\frac{\sin^4x}{4}+C$ (3) $\log x=u$ とおくと $\dfrac{dx}{x}=du$ であるから $\displaystyle\int\frac{\log x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\log x)^2}{2}+C$ (4) $(x^2+1)'=2x$ であるから $\log(x^2+1)+C$ (5) $x^2+1=u$ とおくと $2x\,dx=du$ であるから $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\,dx=\int\frac{1}{2}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C$