1次式を t とおく置換積分（B）

$C$ は積分定数とする． (1) $x-1=t$ とおくと $x=t+1$，$dx=dt$ \[ \begin{aligned} \int\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx&=\int\frac{t+1}{\sqrt{t}}\,dt=\int\left(t^{\frac{1}{2}}+t^{-\frac{1}{2}}\right)dt\\ &=\frac{2}{3}t\sqrt{t}+2\sqrt{t}+C=\frac{2}{3}\sqrt{t}\,(t+3)+C \end{aligned} \] よって $\dfrac{2}{3}(x+2)\sqrt{x-1}+C$ (2) $x+1=t$ とおくと $x=t-1$，$dx=dt$ \[ \int\frac{x}{(x+1)^2}\,dx=\int\frac{t-1}{t^2}\,dt=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right)dt=\log|t|+\frac{1}{t}+C \] よって $\log|x+1|+\dfrac{1}{x+1}+C$