1次式を t とおく置換積分（A）

$C$ は積分定数とする． (1) $x+1=t$ とおくと $x=t-1$，$dx=dt$ \[ \begin{aligned} \int x\sqrt{x+1}\,dx&=\int(t-1)\sqrt{t}\,dt=\int\left(t^{\frac{3}{2}}-t^{\frac{1}{2}}\right)dt\\ &=\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{15}t\sqrt{t}\,(3t-5)+C \end{aligned} \] よって $\dfrac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C$ (2) $2x-1=t$ とおくと $x=\dfrac{t+1}{2}$，$dx=\dfrac{1}{2}dt$ \[ \begin{aligned} \int x(2x-1)^4\,dx&=\int\frac{t+1}{2}\cdot t^4\cdot\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{4}\int(t^5+t^4)\,dt\\ &=\frac{1}{4}\left(\frac{t^6}{6}+\frac{t^5}{5}\right)+C=\frac{t^5(5t+6)}{120}+C \end{aligned} \] よって $\dfrac{(2x-1)^5(10x+1)}{120}+C$