微小変化に対する変化量の近似（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 微小変化に対する変化量の近似（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 半径 $10\ \mathrm{cm}$ の円の半径が $0.1\ \mathrm{cm}$ 増加するとき，面積はおよそどれだけ増加するか．
\item[(2)] 振り子の周期 $T$ は，振り子の長さ $l$ を用いて $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$（$g$ は定数）と表される．$l$ が $2\%$ 長くなると，$T$ は約何 $\%$ 長くなるか．
\end{enumerate}
(1) 半径を $r$，面積を $S=\pi r^2$ とする．$|\Delta r|$ が十分小さいとき $\Delta S\fallingdotseq 2\pi r\Delta r$ であるから，$r=10$，$\Delta r=0.1$ として
\[ \Delta S\fallingdotseq 2\pi\cdot 10\cdot 0.1=2\pi \]
よって，約 $2\pi\ \mathrm{cm^2}$（約 $6.28\ \mathrm{cm^2}$）増加する．
(2) $T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{g}}l^{\frac{1}{2}}$ より $\dfrac{dT}{dl}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{g}}\cdot\dfrac{1}{2}l^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{T}{2l}$
$\Delta l=0.02l$ のとき $\Delta T\fallingdotseq\dfrac{T}{2l}\cdot 0.02l=0.01T$
よって，$T$ は約 $1\%$ 長くなる．
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