時間に対する体積・面積の変化率（B）

時刻 $t$ における水の深さを $h$，水面の半径を $r$ とすると，相似より $r=\dfrac{h}{2}$ 水の体積は $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{\pi}{12}h^3$ であるから \[ \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}h^2\frac{dh}{dt} \] $\dfrac{dV}{dt}=3\pi$，$h=4$ を代入して $3\pi=4\pi\dfrac{dh}{dt}$ より $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3}{4}\ (\mathrm{cm/s})$ 水面の面積は $S=\pi r^2=\dfrac{\pi}{4}h^2$ であるから \[ \frac{dS}{dt}=\frac{\pi}{2}h\frac{dh}{dt}=\frac{\pi}{2}\cdot 4\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\pi\ (\mathrm{cm^2/s}) \]