不等式を示してはさみうちで極限を求める（B）

(1) $g(x)=x-\sin x$ とおくと $g'(x)=1-\cos x\geqq 0$ で，等号は $x=2k\pi$（$k$ は整数）のときだけ成り立つから，$g(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する．$g(0)=0$ より $x>0$ で $g(x)>0$ $h(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$ とおくと \[ h'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},\qquad h''(x)=-\sin x+x=g(x)>0\quad(x>0) \] よって $h'(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し $h'(x)>h'(0)=0$．さらに $h(x)$ も増加し $h(x)>h(0)=0$ よって $x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$ (2) (1) より $x>0$ のとき $0<x-\sin x<\dfrac{x^3}{6}$ であるから \[ 0<\frac{x-\sin x}{x^2}<\frac{x}{6} \] はさみうちの原理より，極限は $0$