不等式を示してはさみうちで極限を求める（A）

(1) $g(x)=x-\log(1+x)$ とおくと $g'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}$ $x>0$ のとき $g'(x)>0$ であるから，$g(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する．$g(0)=0$ であるから，$x>0$ のとき $g(x)>0$ $h(x)=\log(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと $h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1+x=\dfrac{x^2}{1+x}$ $x>0$ のとき $h'(x)>0$ であるから，$h(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する．$h(0)=0$ であるから，$x>0$ のとき $h(x)>0$ よって $x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x$ (2) $x=\dfrac{1}{n}$ として各辺に $n$ を掛けると \[ 1-\frac{1}{2n}<n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)<1 \] はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$ また，$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e^{n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}$ であり，$n\to\infty$ のとき $n\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\to 1$ であるから，指数関数 $e^x$ の連続性により \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^1=e \]