極値をとる点の y 座標の和（無限級数）（B）

(1) $f'(x)=-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=-\sqrt{2}\,e^{-x}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ $x>0$ で $f'(x)=0$ となるのは $x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\ (k=1,\,2,\,\cdots)$ のときで，前後で符号が変わる．よって \[ x_n=\frac{3}{4}\pi+n\pi\quad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \] $\cos x_n=\cos\left(\dfrac{3}{4}\pi+n\pi\right)=(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であるから \[ f(x_n)=(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3}{4}\pi}e^{-n\pi} \] (2) 初項 $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3}{4}\pi}$，公比 $-e^{-\pi}$（$|-e^{-\pi}|<1$）の無限等比級数であるから \[ \sum_{n=0}^{\infty}f(x_n)=\frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3}{4}\pi}}{1+e^{-\pi}}=-\frac{\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}}}{2(e^{\pi}+1)} \]