極値をとる点の y 座標の和（無限級数）（A）

(1) $f'(x)=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=-\sqrt{2}\,e^{-x}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ $f'(x)=0$ となるのは $x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi$ で，その前後で $f'(x)$ の符号が変わるから，極値をとる．よって \[ x_n=\frac{\pi}{4}+n\pi\quad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \] $\sin x_n=(-1)^n\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であるから $f(x_n)=(-1)^n\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}e^{-n\pi}$ (2) $|f(x_n)|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}\left(e^{-\pi}\right)^n$ であるから，$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|f(x_n)|$ は初項 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$，公比 $e^{-\pi}$ の無限等比級数である．$0<e^{-\pi}<1$ であるから収束して，その和は \[ \sum_{n=0}^{\infty}|f(x_n)|=\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}}{1-e^{-\pi}}=\frac{\sqrt{2}\,e^{\frac{3}{4}\pi}}{2(e^{\pi}-1)} \]