2 点における接線・法線の交点の極限（B）

点 $\left(s,\,\dfrac{s^2}{2}\right)$ における接線の傾きは $s$ であるから，$s\neq 0$ のとき法線は \[ y-\frac{s^2}{2}=-\frac{1}{s}(x-s)\quad\text{すなわち}\quad y=-\frac{x}{s}+1+\frac{s^2}{2} \] $s=t,\ t+h$ の 2 本の法線の交点を $(X,\,Y)$ とすると \[ -\frac{X}{t}+\frac{t^2}{2}=-\frac{X}{t+h}+\frac{(t+h)^2}{2} \] \[ X\left(\frac{1}{t+h}-\frac{1}{t}\right)=\frac{(t+h)^2-t^2}{2}\quad\text{より}\quad X\cdot\frac{-h}{t(t+h)}=\frac{h(2t+h)}{2} \] $h\neq 0$ であるから，両辺を $\dfrac{-h}{t(t+h)}$ で割って $X=-\dfrac{t(t+h)(2t+h)}{2}$，$Y=-\dfrac{X}{t}+1+\dfrac{t^2}{2}=\dfrac{(t+h)(2t+h)}{2}+1+\dfrac{t^2}{2}$ $h\to 0$ のとき $X\to -t^3$，$Y\to t^2+1+\dfrac{t^2}{2}=1+\dfrac{3}{2}t^2$ よって，R は点 $\left(-t^3,\,1+\dfrac{3}{2}t^2\right)$ に近づく（下図は $t=1$，$h=0.4$ の場合で，R は点 $(-1.68,\,3.18)$，$\mathrm{R}_0$ は $t=1$ のときに R が近づく点 $\left(-1,\,\dfrac{5}{2}\right)$ である）．