2 点における接線・法線の交点の極限（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 2 点における接線・法線の交点の極限（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
曲線 $y=e^x$ 上の 2 点 $\mathrm{P}(a,\,e^a)$，$\mathrm{Q}(a+h,\,e^{a+h})\ (h\neq 0)$ における接線の交点の $x$ 座標を $X(h)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $X(h)-a$ を $h$ の式で表せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{X(h)-a}{h}$ を求めよ．ただし，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1-h}{h^2}=\frac{1}{2}$ を用いてよい．
\end{enumerate}
(1) 点 $(s,\,e^s)$ における接線は $y=e^s(x-s+1)$．$s=a,\ a+h$ の 2 本の交点では
\[ e^a(X-a+1)=e^{a+h}(X-a-h+1) \]
$u=X-a$ とおくと $u+1=e^h(u+1-h)$ より $u(e^h-1)=he^h-e^h+1$
$h\neq 0$ より $e^h-1\neq 0$ であるから $X(h)-a=\dfrac{he^h-e^h+1}{e^h-1}$
(2) 分子は $he^h-(e^h-1)=h(e^h-1)-(e^h-1-h)$ と変形できるから
\[ \frac{X(h)-a}{h}=\frac{h(e^h-1)-(e^h-1-h)}{h(e^h-1)}=1-\frac{\dfrac{e^h-1-h}{h^2}}{\dfrac{e^h-1}{h}} \]
与えられた極限を用いると
\[ \lim_{h\to 0}\frac{X(h)-a}{h}=1-\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \]
（$h$ が 0 に近いとき，交点の $x$ 座標は，P，Q の $x$ 座標のほぼ中央にある．）
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