定数を分離して指数関数を含む方程式の解の個数（B）

$e^x>0$ であるから，両辺を $e^x$ で割ると，方程式は $x^2e^{-x}=k$ と同値である．$f(x)=x^2e^{-x}$ とおくと $f'(x)=x(2-x)e^{-x}$ \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & \frac{4}{e^2} & \searrow \end{array} \] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ で，$f(x)\geqq 0$ $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数を考えて（下図） \begin{itemize} \item $k>\dfrac{4}{e^2}$ のとき 1 個 \item $k=\dfrac{4}{e^2}$ のとき 2 個 \item $0<k<\dfrac{4}{e^2}$ のとき 3 個 \item $k=0$ のとき 1 個 \item $k<0$ のとき 0 個 \end{itemize}