定数を分離して指数関数を含む方程式の解の個数（A）

$e^x>0$ であるから，両辺を $e^x$ で割ると，方程式は $xe^{-x}=k$ と同値である．$f(x)=xe^{-x}$ とおくと $f'(x)=(1-x)e^{-x}$ \[ \begin{array}{c|ccc} x & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \frac{1}{e} & \searrow \end{array} \] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$（$x>0$ で $f(x)>0$） $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数を考えて（下図） \begin{itemize} \item $k>\dfrac{1}{e}$ のとき 0 個 \item $k=\dfrac{1}{e}$ のとき 1 個 \item $0<k<\dfrac{1}{e}$ のとき 2 個 \item $k\leqq 0$ のとき 1 個 \end{itemize}