すべての正の x で不等式が成り立つ定数の範囲（B）

[1] $0<x<1$ のとき $\log x<0$ である．$a<0$ とすると，$x\to +0$ のとき $x^2\to 0$，$a\log x\to\infty$ となるから，0 に十分近い $x$ では $x^2<a\log x$ となり，不等式は成り立たない．$a\geqq 0$ のときは $a\log x\leqq 0<x^2$ で成り立つ．よって $a\geqq 0$ が必要． [2] $x=1$ のときは $1\geqq 0$ で成り立つ． [3] $x>1$ のとき $\log x>0$ で，不等式は $\dfrac{x^2}{\log x}\geqq a$ と同値．$g(x)=\dfrac{x^2}{\log x}$ とおくと \[ g'(x)=\frac{2x\log x-x}{(\log x)^2}=\frac{x(2\log x-1)}{(\log x)^2} \] $1<x<\sqrt{e}$ のとき $2\log x-1<0$，$x>\sqrt{e}$ のとき $2\log x-1>0$ であるから，$g(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|cccc} x & 1 & \cdots & \sqrt{e} & \cdots \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + \\ \hline g(x) & & \searrow & 2e & \nearrow \end{array} \] よって，$g(x)$ は $x=\sqrt{e}$ で最小値 $g(\sqrt{e})=\dfrac{e}{\frac{1}{2}}=2e$ をとるから，すべての $x>1$ で $g(x)\geqq a$ となる条件は $a\leqq 2e$ [1]〜[3] より $0\leqq a\leqq 2e$