対数平均の不等式（B）

$t=\dfrac{b}{a}$ とおくと $t>1$ で \[ \frac{b-a}{\log b-\log a}=\frac{a(t-1)}{\log t},\qquad \frac{a+b}{2}=\frac{a(t+1)}{2} \] $\log t>0$ であるから，示すべき不等式は \[ \frac{t-1}{\log t}<\frac{t+1}{2} \] 両辺に $\dfrac{2\log t}{t+1}\ (>0)$ を掛けると，これは \[ \log t>\frac{2(t-1)}{t+1} \] と同値である． $h(t)=\log t-\dfrac{2(t-1)}{t+1}\ (t\geqq 1)$ とおくと \[ h'(t)=\frac{1}{t}-\frac{4}{(t+1)^2}=\frac{(t+1)^2-4t}{t(t+1)^2}=\frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}>0\quad(t>1) \] よって $h(t)$ は $t\geqq 1$ で増加し，$t>1$ のとき $h(t)>h(1)=0$ したがって，与えられた不等式は成り立つ．