対数平均の不等式（A）

$t=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ とおくと $t>1$ で，$b=at^2$． \[ \frac{b-a}{\log b-\log a}=\frac{a(t^2-1)}{\log t^2}=\frac{a(t^2-1)}{2\log t},\qquad \sqrt{ab}=at \] $\log t>0$ であるから，示すべき不等式は \[ at<\frac{a(t^2-1)}{2\log t} \] 両辺に $\dfrac{2\log t}{a}\ (>0)$ を掛けると $2t\log t<t^2-1$ となり，さらに両辺を $t\ (>0)$ で割ると，これは \[ t-\frac{1}{t}-2\log t>0 \] と同値である． $g(t)=t-\dfrac{1}{t}-2\log t\ (t\geqq 1)$ とおくと \[ g'(t)=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}=\left(1-\frac{1}{t}\right)^2>0\quad(t>1) \] よって $g(t)$ は $t\geqq 1$ で増加し，$t>1$ のとき $g(t)>g(1)=0$ したがって，与えられた不等式は成り立つ．