2文字の不等式を1変数の関数の増減で示す（B）

(1) $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x^2-\log x\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{x-2x\log x}{x^4}=\dfrac{1-2\log x}{x^3}$ $x>\sqrt{e}$ のとき，$\log x>\dfrac{1}{2}$ より $1-2\log x<0$ であり，$x^3>0$ であるから　$f'(x)<0$ よって，$f(x)$ は $x\geqq\sqrt{e}$ で減少する． （$y=f(x)$ のグラフの概形は下図のようになる．） (2) (1) より，$\sqrt{e}\leqq a<b$ のとき $f(a)>f(b)$ すなわち \[ \frac{\log a}{a^2}>\frac{\log b}{b^2} \] 両辺に $a^2b^2\ (>0)$ を掛けて　$b^2\log a>a^2\log b$ すなわち　$\log a^{b^2}>\log b^{a^2}$ 底 $e$ は 1 より大きいから　$a^{b^2}>b^{a^2}$ (3) $\sqrt{e}<e<\pi$ であるから，(2) で $a=e$，$b=\pi$ とすると \[ e^{\pi^2}>\pi^{e^2} \] したがって，$e^{\pi^2}$ の方が大きい．