2文字の不等式を1変数の関数の増減で示す（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 2文字の不等式を1変数の関数の増減で示す（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 関数 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は $x\geqq e$ で減少することを示せ．
\item[(2)] $e\leqq a<b$ のとき，$a^b>b^a$ が成り立つことを示せ．
\item[(3)] $e^\pi$ と $\pi^e$ の大小を比較せよ．
\end{enumerate}
(1) $f'(x)=\dfrac{1-\log x}{x^2}$．$x>e$ のとき $\log x>1$ より $f'(x)<0$ であるから，$f(x)$ は $x\geqq e$ で減少する．
(2) (1) より，$e\leqq a<b$ のとき $f(a)>f(b)$ すなわち $\dfrac{\log a}{a}>\dfrac{\log b}{b}$
両辺に $ab\ (>0)$ を掛けて $b\log a>a\log b$ すなわち $\log a^b>\log b^a$
よって $a^b>b^a$
(3) (2) で $a=e$，$b=\pi$ とすると（$e<\pi$），$e^\pi>\pi^e$
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