前問の不等式を使って極限・不等式を示す（B）

(1) $f(x)=\sqrt{x}-\log x$ とおくと $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}$ \[ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 2-2\log 2 & \nearrow \end{array} \] $f(x)$ は $x=4$ で最小値 $2-2\log 2$ をとり，$\log 2<1$ より $2-2\log 2=2(1-\log 2)>0$ であるから，$x>0$ で $f(x)>0$ すなわち $\sqrt{x}>\log x$ (2) $x>1$ のとき $\log x>0$ で，(1) より \[ 0<\frac{\log x}{x}<\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}} \] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$