前問の不等式を使って極限・不等式を示す（A）

(1) $f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$ とおくと $f'(x)=e^x-x$，$f''(x)=e^x-1$ $x>0$ で $f''(x)>0$ より，$f'(x)$ は $x\geqq 0$ で増加するから，$x>0$ で $f'(x)>f'(0)=1>0$．よって $f(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し，$x>0$ で $f(x)>f(0)=1>0$ すなわち $e^x>\dfrac{x^2}{2}$ (2) $x>0$ のとき，(1) より $0<\dfrac{x}{e^x}<\dfrac{x}{\dfrac{x^2}{2}}=\dfrac{2}{x}$ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$