差をとった関数の増減で不等式を証明する（B）

$f(x)=\log(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}\ (x\geqq 0)$ とおくと \[ f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\frac{x^2}{1+x} \] $x>0$ のとき $f'(x)>0$ であるから，$f(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する． よって，$x>0$ のとき $f(x)>f(0)=0$ すなわち $\log(1+x)>x-\dfrac{x^2}{2}$