差をとった関数の増減で不等式を証明する（A）

$f(x)=e^x-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)$ とおくと \[ f'(x)=e^x-1-x,\qquad f''(x)=e^x-1 \] $x>0$ のとき $f''(x)>0$ であるから，$f'(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し，$x>0$ のとき $f'(x)>f'(0)=0$ よって $f(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し，$x>0$ のとき $f(x)>f(0)=0$ したがって $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$