第2次導関数の符号で極値を判定する（B）

$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x=2\cos x(1-2\sin x)$ $0<x<2\pi$ で $f'(x)=0$ となるのは $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{3}{2}\pi$ $f''(x)=-2\sin x-4\cos 2x$ であるから \[ f''\left(\frac{\pi}{6}\right)=-1-2=-3<0,\quad f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2+4=2>0 \] \[ f''\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-1-2=-3<0,\quad f''\left(\frac{3}{2}\pi\right)=2+4=6>0 \] よって $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi$ で極大値 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=f\left(\dfrac{5}{6}\pi\right)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ $x=\dfrac{\pi}{2}$ で極小値 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2-1=1$ $x=\dfrac{3}{2}\pi$ で極小値 $f\left(\dfrac{3}{2}\pi\right)=-2-1=-3$