第2次導関数の符号で極値を判定する（A）

$f'(x)=\cos x+\cos 2x=2\cos^2x+\cos x-1=(2\cos x-1)(\cos x+1)$ $0<x<2\pi$ で $f'(x)=0$ となるのは $x=\dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5}{3}\pi$ $f''(x)=-\sin x-2\sin 2x$ である． $f''\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}<0$ より，$x=\dfrac{\pi}{3}$ で極大値 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ $f''\left(\dfrac{5}{3}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}>0$ より，$x=\dfrac{5}{3}\pi$ で極小値 $f\left(\dfrac{5}{3}\pi\right)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ $f''(\pi)=0$ であるから，この方法では判定できない．$\cos x+1\geqq 0$ であり，$x=\pi$ の近くで $2\cos x-1<0$ であるから，$x=\pi$ の前後で $f'(x)\leqq 0$ となり，$x=\pi$ では極値をとらない．