変曲点に関して点対称であることの証明（A）

(1) $f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ であり，$1-f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ であるから $f'(x)=f(x)\{1-f(x)\}$ よって $f''(x)=f'(x)\{1-f(x)\}-f(x)f'(x)=f'(x)\{1-2f(x)\}$ $f'(x)>0$ であるから，$f''(x)$ の符号は $1-2f(x)$ の符号と一致する．$f(x)$ は増加関数で $f(0)=\dfrac{1}{2}$ であるから，$x<0$ で $f''(x)>0$，$x>0$ で $f''(x)<0$ よって，変曲点は $\left(0,\,\dfrac{1}{2}\right)$ (2) 曲線が点 $\left(0,\,\dfrac{1}{2}\right)$ に関して対称であることは，すべての $x$ について $f(x)+f(-x)=1$ が成り立つことと同値である． \[ f(x)+f(-x)=\frac{1}{1+e^{-x}}+\frac{1}{1+e^{x}}=\frac{e^x}{e^x+1}+\frac{1}{1+e^x}=1 \] よって，曲線は変曲点に関して対称である．