媒介変数表示された曲線の概形（A）

$t$ を $2\pi-t$ に変えると $x$ は変わらず $y$ は $-y$ になるから，曲線は $x$ 軸に関して対称である． $t$ を $\pi-t$ に変えると $x\to -x$，$y\to -y$ となるから，曲線は原点に関して対称である． よって $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分を調べる． \[ \frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\cos 2t \] \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline \frac{dx}{dt} & 0 & - & - & - & -1 \\ \hline \frac{dy}{dt} & 2 & + & 0 & - & -2 \\ \hline (x,\,y) & (1,\,0) & \nwarrow & \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,1\right) & \swarrow & (0,\,0) \end{array} \] $t=0$ では $\dfrac{dx}{dt}=0$，$\dfrac{dy}{dt}\neq 0$ であるから，点 $(1,\,0)$ で接線は $y$ 軸に平行． $t=\dfrac{\pi}{2}$ における接線の傾きは $\dfrac{-2}{-1}=2$ これを対称性を用いて広げると，下図のような 8 の字形の曲線になる．