y²=f(x) の形の方程式が表す曲線の概形（A）

$x^2(1-x^2)\geqq 0$ より $-1\leqq x\leqq 1$ 方程式は $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ に変えても変わらないから，曲線は $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称である．よって，$0\leqq x\leqq 1$，$y\geqq 0$ の部分 $y=x\sqrt{1-x^2}$ を調べる． $0<x<1$ で $y'=\sqrt{1-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ $y'=0$ とすると $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で，このとき $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$ \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 \\ \hline y' & 1 & + & 0 & - & \\ \hline y & 0 & \nearrow & \frac{1}{2} & \searrow & 0 \end{array} \] $\displaystyle\lim_{x\to 1-0}y'=-\infty$ であるから，点 $(1,\,0)$ で接線は $y$ 軸に平行．また，原点での接線の傾きは $1$ である． これを $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称に折り返すと，下図のような 8 の字形の曲線になる．