対称性を利用したグラフの概形（B）

$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ とすると $f(-x)=-f(x)$ であるから，グラフは原点に関して対称である．よって $x\geqq 0$ で調べる． \[ y'=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \] \[ y''=\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=\frac{-2x(x^2+1)-4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3}=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \] \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots & \\ \hline y' & + & + & 0 & - & - & - & \\ \hline y'' & 0 & - & - & - & 0 & + & \\ \hline y & 0 & \nearrow\!\text{(上凸)} & \frac{1}{2} & \searrow\!\text{(上凸)} & \frac{\sqrt{3}}{4} & \searrow\!\text{(下凸)} & \end{array} \] $-\sqrt{3}<x<0$ のとき $2x<0$，$x^2-3<0$ より $y''>0$ であり，$0<x<\sqrt{3}$ のとき $y''<0$ であるから，$y''$ の符号は $x=0$ の前後で変わる． 対称性から，$x=1$ で極大値 $\dfrac{1}{2}$，$x=-1$ で極小値 $-\dfrac{1}{2}$．変曲点は $(0,\,0)$，$\left(\pm\sqrt{3},\,\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)$（複号同順） $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}y=0$ より，$x$ 軸が漸近線．グラフは下図．