対称性を利用したグラフの概形（A）

$f(x)=e^{-x^2}$ とすると $f(-x)=f(x)$ であるから，グラフは $y$ 軸に関して対称である．よって $x\geqq 0$ で調べる． $y'=-2xe^{-x^2}$，$y''=(4x^2-2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}$ $e^{-x^2}>0$ であるから，$x\geqq 0$ において $y'=0$ とすると $x=0$，$y''=0$ とすると $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & \\ \hline y' & 0 & - & - & - & \\ \hline y'' & - & - & 0 & + & \\ \hline y & 1 & \searrow\!\text{(上凸)} & \frac{1}{\sqrt{e}} & \searrow\!\text{(下凸)} & \end{array} \] 対称性から，$x=0$ で極大値 $1$．変曲点は $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$ $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}y=0$ より，$x$ 軸が漸近線．グラフは下図．