斜めの漸近線を求める（B）

(1) 定義域は $x\leqq -2,\ 0\leqq x$ で，$y$ は有限の値をとるから $y$ 軸に平行な漸近線はない． $x\to\infty$ のとき $\dfrac{y}{x}=\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}\to 1$，$y-x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}\to 1$ $x\to -\infty$ のとき，$x=-t$ とおくと $t\to\infty$ で，$\dfrac{y}{x}=-\sqrt{1-\dfrac{2}{t}}\to -1$，$y+x=\sqrt{t^2-2t}-t=\dfrac{-2t}{\sqrt{t^2-2t}+t}=\dfrac{-2}{\sqrt{1-\frac{2}{t}}+1}\to -1$ よって，漸近線は $y=x+1$，$y=-x-1$ (2) 定義域は $x\neq 0$．$\dfrac{1}{x}=s$ とおくと，$x\to +0$ のとき $s\to\infty$ で，与えられた極限より $y=\dfrac{e^s}{s}\to\infty$ であるから，直線 $x=0$ は漸近線．（$x\to -0$ のときは $y\to 0$） $\dfrac{y}{x}=e^{\frac{1}{x}}\to 1\ (x\to\pm\infty)$，$y-x=x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)=\dfrac{e^s-1}{s}\to 1$（$s=\dfrac{1}{x}\to 0$） よって，漸近線は $x=0$，$y=x+1$