第2次導関数で凹凸と変曲点を調べる（B）

$y'=\dfrac{2x}{x^2+1}$ \[ y''=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2} \] \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y'' & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline y & \text{上に凸} & \log 2 & \text{下に凸} & \log 2 & \text{上に凸} \end{array} \] よって，$-1<x<1$ で下に凸，$x<-1$，$1<x$ で上に凸であり，変曲点は $(-1,\,\log 2)$，$(1,\,\log 2)$