球に内接する立体の体積の最大値（B）

球の中心を O とし，円錐の頂点を A，底面の中心を H とする．H が O に関して A と反対側にあるときは $\mathrm{OH}=t$，A と同じ側にあるときは $\mathrm{OH}=-t$ とする（$-1<t<1$，下図）． 高さは $\mathrm{AH}=1+t$，底面の半径を $r$ とすると $r^2=1-t^2$ 体積は $V(t)=\dfrac{\pi}{3}(1-t^2)(1+t)$ \[ V'(t)=\frac{\pi}{3}\{-2t(1+t)+(1-t^2)\}=\frac{\pi}{3}(1+t)(1-3t) \] $-1<t<1$ で $V'(t)=0$ となるのは $t=\dfrac{1}{3}$ で，その前後で $V'$ は正から負に変わる． よって，最大値は $V\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{32}{81}\pi$