球に内接する立体の体積の最大値（A）

直円柱の高さを $h\ (0<h<2)$，底面の半径を $r$ とすると，球の中心から底面までの距離は $\dfrac{h}{2}$ であるから \[ r^2=1-\frac{h^2}{4} \] 体積は $V(h)=\pi r^2h=\pi\left(h-\dfrac{h^3}{4}\right)$ \[ V'(h)=\pi\left(1-\frac{3h^2}{4}\right) \] $0<h<2$ で $V'(h)=0$ となるのは $h=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ で，その前後で $V'$ は正から負に変わる． よって，最大値は $V\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=\pi\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi$